イデアルに関するつぶやき

[69]I⊂Aをネーター環とそのイデアル,Mを有限生成A加群,M/IM≠0とする.
①正整数nに対し次は同値.
ⅰIの中に長さnのM列がとれる.
ⅱi<nならExt^{i}_{A}(A/I,M)=0である.
②Iの中のM列は,ⅱをみたす最大のn個まで延長できる.

[50]Rを環,I⊂Rをイデアル,Tを不定元とする.環Aに対してA[T]は多項式環,A[[T]]は形式的べき級数環とする.
①(R[T])/(IR[T])≅(R/I)[T]を示せ.
②Iが有限生成であると仮定して(R[[T]])/(IR[[T]])≅(R/I)[[T]]を示せ.

[1]Rを環とする.
①RのイデアルIに対しR→R/Iは{RのIを含む素イデアル}と{R/Iの素イデアル}の自然な全単射を引き起こす.
②Rの積閉集合Sに対しR→S^(-1)Rは{RのSと交わらない素イデアル}と{S^(-1)Rの素イデアル}の自然な全単射を引き起こす.

[29]環の射A→Bが平坦とする.
①CをA代数とすると,C→B⊗Cも平坦であることを示せ.
②整域上平坦な加群はtorsion freeであること示せ.
③Bの素イデアルで,Aへの引き戻しが極小素イデアルであるものが存在することを示せ.

[73]
①ネーター環AのイデアルIについて、AのI進完備化A^はA上平坦.
②ネーター環Rの加算直積R^NはR上平坦.
③ネーター環R上の有限生成自由加群の全射的系による射影極限はR上平坦.

[5]Rを環とする.
①Rの冪零元全体は,Rの素イデアル全ての共通部分と一致し,特にイデアルとなる.
②RのJacobson根基(極大イデアル全ての共通部分)は{x∈R;∀u∈R^*,∀a∈R,u+axは可逆元となる}と一致する.

[14]I⊂Rをネーター環とイデアル,N⊂Mを有限生成R加群.
①A=⊕I^n（添え字は自然数全体）は次数付きネーター環で,U=⊕I^nMは次数付き有限生成A加群.
②V=⊕(I^nM∩N)を考えて∃k:自然数,∀n:自然数,(I^(n+k)M)∩N=I^n((I^kM)∩N).